0.1 騎士與惡棍之島
剛剛你是怎麼解這問題的？許多人解這類問題用的是窮舉法：假設A是騎士、B也是騎士，看看會不會有矛盾，接著假設A是騎士、B是惡棍，看看是否有矛盾... 依此類推。
我們想介紹另一種做法。我們將「A是騎士」簡寫成A. 如果A說了某個陳述S, 我們無法知道S是否成立，但我們知道
A <=> S
其中的 (<=>) 可以理解為邏輯中「若且唯若」的關係，也可以簡單理解為（真假值的）「等於」。若用口語說，當我們寫 P <=> Q, 表示 P 和 Q 的真假值相同。確實，假定A說了陳述S，如果A是騎士，S便是真的；如果A不是騎士，S便是假的。因此「A說了陳述S」可寫成 A <=> S。
「若且唯若」這符號有幾個性質。首先，對任何陳述 P, 可知 P <=> P 必定為真：
(P <=> P) <=> true
我們將這條規則命名為「自反恆真」。
給定二元關係 <=:，如果 x <=: x 對任何 x 均成立，我們說 <=: 有自反性(reflexivity). 「自反恆真」即「自反性恆為真」的意思。
其次，既然 (<=>) 可以理解為「等於」，理所當然該有交換律：
(<=>) 和 (=) 都是「等於」。我們在此處使用不同符號，僅是為了區分出先後次序：同一行內部的相等用 (<=>), 行與行之間的相等用 (=). 本書其他地方的用法可能不同。
P <=> Q
= Q <=> P
最後，很少人注意到，真假值的「等於」是有結合律的：對任何 P, Q, 和 R, 我們有這樣的性質：
(P <=> Q) <=> R 只在 P, Q, 和 R 都是真假值（或邏輯陳述）時有意義，否則 P, Q, 和 R無法用 (<=>) 串起。反例： (3 = 3) = 3 可化簡成 true = 3, 但後式中等號兩邊的值型別不同，不是合法的句子。也許因為我們較常考慮數字的相等，而較少用符號表達真假值的相等，(<=>) 的結合律並不廣為人知。
(P <=> Q) <=> R
= P <=> (Q <=> R)
為了練習，我們多考慮一些情況。假設我們問A：「你是騎士嗎？」而A 回答「是的！」這可以記成A <=> A. 然而，根據自反恆真，A <=> A可以化簡為true. 這意味著：在這島上不管你問誰「你是騎士嗎」，對方都會回答「是」。
如果A說：「B是騎士」呢？ 這可以記成A <=> B. 由此我們無法知道B到底是騎士還是惡棍，但我們可以知道A和B是同一種人。
現在想想問題0.1 ：居民 A 說「如果你問 B 他自己是不是騎士，他會說是。」這可以記成 A <=> (B <=> B). 我們來演算看看：
A <=> (B <=> B)
= {- 自反恆真-}
A <=> true
= {- 結合律與自反恆真 -}
A
也就是說，我們不知道B到底是騎士還是惡棍，卻可知道A一定是騎士！這段演算中，把 A <=> true 換成 A 的最後一步，直覺上似乎很直觀。如果要探究理由，其實用了結合律與自反恆真：(A <=> A) <=> true 根據結合律可代換為 A <=> (A <=> true), 因此 A <=> true 可代換成 A.
再考慮一個熱身題：如果A說「我和B是同一種人」呢？這可記成A <=> (A <=> B)。我們算算看:
A <=> (A <=> B)
= {- 結合律 -}
(A <=> A) <=> B
= {- 自反恆真 -}
true <=> B
= {- 交換律與自反恆真 -}
B
這次，我們不知A是騎士還是惡棍，卻可知B一定是騎士。
最後，我們該回到本章開頭的問題了。你站在山洞口，面對洞口的老人。姑且稱呼他為A. 要怎麼想出一個問題問他，用來判斷島上到底有沒有金子呢？之前介紹邏輯符號的目的是讓我們可避免瞎猜，而用代數解未知數的方式把問題推演出來。把「島上有金子」這個命題記為G. 我們希望問某個問題Q。如果A對問題Q回答「是」，就表示島上有金子，反之則否。
「
A對問題Q回答『是』」記為A <=> Q；「
A對問題Q回答『是』，島上便有金子」其實應該是一個若且唯若的命題，寫成G <=> (A <=> Q)。
而根據交換律和結合律，我們可以推演：
G <=> (A <=> Q)
= {- 結合律 -}
(G <=> A) <=> Q
= {- 交換律 -}
Q <=> (G <=> A)
我們可得知Q <=> (G <=> A)，也就是說我們要問A的問題Q就是G <=> A：「請問，『島上有金子』和『你是騎士』是不是等價的呢？」不妨試試看能否把這句子講得不那麼繞口？
希望這個島上不論騎士或惡棍，邏輯都蠻不錯，才聽得懂這種問題囉！